دینامیکی و جایگزینی

دانلود پایان نامه

که در آن تانسور فشار کل برابر است، و با استفاده از تعاریف بار فضا ، در معادله (4-9) پس از جمع کردن و ملاحظه تعریف سرعت حجمی سیال در معادله (4-7)، سمت چپ رابطه (4-9) به صورت زیر درمیآید.
(4-11)
در جمله غیر خطی دوم معادله (4-9) از کوچکی جرم الکترون بهره میگیریم، و فرض میکنیم که دو چگالی تقریباً مساویند. در این مورد بوده، و جمله غالب در جمع اولین جمله یونی است. با این تقریب که برای پلاسماهای شبه خنثی نسبتاً خوب است، معادله حرکت به صورت زیر در میآید.
(4-12)
این معادله پایستاری اندازه حرکت در مغناطوهیدرودینامیک است.
معادله پایستاری اندازه حرکت (4-12) شامل چگالی جریان الکتریکی، ، به صورت متغییر جدید است. بنابراین برای بستن دستگاه و معادلات، به یک عبارت اضافی برای تحول نیاز داریم. این معادله همان |«قانون اهم تعمیم یافته» یک پلاسماست. که از تفریق معادلات اندازه حرکت دو سیال (4-9) بدست میآید. پس از تفریق دو معادله از فاکتور میگیریم، همچنین جمله اول سمت چپ را در e ضرب و تقسیم میکنیم. برای چگالیهای جریان کوچک، میتوان از جملات مجذوری سرعتها ، یعنی جملات دوم سمت چپ معادلات اندازه حرکت، چشمپوشی کرد. در این صورت به سادگی میتوان نشان داد که چگالی جریان در رابطه زیر صادق است.
(4-13)
سمت راست این معادله باز شامل چگالیها، سرعتها و فشارهای جزیی است، با این وجود، با استفاده از معادلات (4-5) تا (4-7) امکان جایگزینی آنها وجود دارد. وقتی که از جملات با نسبتهای کوچک جرم چشمپوشی کنیم، و شبه خنثایی را قبول کنیم، روابط جبری سادهتر میشوند. در این صورت فقط فشار الکترونی در اولین جمله سمت راست معادله بالا نقش بازی میکند. علاوه بر این، شبه خنثایی، جملات شامل و را ساده میکند. به ویژه آنکه حذف جمله شامل را ممکن میسازد. بنابراین معادله بالا را میتوان دوباره به صورت زیر نوشت.
(4-14)
جمله لورنتز در سمت راست تنها سرعت الکترونی را شامل میشود، بنابراین حتی در نظریه تک سیالی، سیال الکترونی به صورت متفاوتی با سیال یونی رفتار میکند و اثر بزرگتری روی جریان دارد. به ویژه در حالت ایستایی آرمانی، سیال الکترونی شدیدتر از یونها به میدان مغناطیسی وابستهاند.
باز هم با حذف نسبت کوچک جرمها و با پذیرش شبه خنثایی، میتوان یک عبارت سیالی برای سرعت الکترونی پیدا کرد، زیرا با این فرض، معادله (4-7) را میتوان به صورت زیر نوشت .
(4-15)
با قرار دادن این تقریب در معادله (4-4) رابطه زیر بهدست میآید.
(4-16)
و با قرار دادن عبارت بالا در معادله (4-14) معادله زیر حاصل میشود.
(4-17)
یادآوری میکنیم که جمله اصطکاک، ، متناسب با اختلاف سرعت دو نوع ذره با بارهای مخالف بوده، که از لحاظ چگالی متقارن هستند. ضریب تناسب فرکانس برخورد برابر جرم الکترون است.
(4-18)
ضریب جلوی پرانتز سمت راست شامل کمیتهای مشابه، نظیر مقاومت پلاسما، است. بنابراین میتوان رابطه زیر را نوشت.
(4-19)
بنابراین قانون اهم تعمیم یافته مغناطوهیدرودینامیکی تک سیالی پلاسما، پس از مرتب کردن جملات مختلف به صورت زیر درمیآید.
(4-20)
این معادله از چند جنبه مهم است. اول اینکه میتوان دریافت که در یک پلاسما، قانون ساده اهم به طور قابل ملاحظهای پیچیدهتر میشود. این معادله علاوه بر عبارت مقاومتی،، شامل جمله فشار الکترونی ناهمسانگرد و یک جمله لورنتزی ، نیز است، که اغلب «جمله هال» نامیده میشود، و حتی در یک پلاسمای غیر برخوردی، منجر به مشارکتهای عرضی به هر دوی جریان و میدان مغناطیسی میشود. این قانون همچنین شامل تغییر زمانی جریان میشود که آن را میتوان به عنوان اثر لختی الکترون در شارش جریان تعبیر کرد. از معادله (4-20) آشکار است که در یک سیال مغناطوهیدرودینامیک با در نظر گرفتن رسانایی آرمانی ، و چشمپوشی از تغییرات زمانی کند چگالی جریان و گرادیانهای فشار الکترونی به دلیل کوچک بودن، معادله(4-20) به صورت زیر میشود.
(4-21)