دینامیکی و معادله

دانلود پایان نامه

این سه معادله اساس کار ما در بررسی و بدست آوردن ساختار کلی قرص برافزایشی می باشد.
3-4 روابط، محاسبات و فیزیک مسئله
کاری که ما در اینجا انجام می دهیم بدین صورت است که می خواهیم در یک زمان مشخص و در یک شعاع ثابت از روی صفحه استوایی قرص، یعنی زاویه 90 درجه حرکت کرده و به سمت محور دوران قرص یعنی زوایای کوچکتر پیش برویم و یک تصویر کامل از قرص را ترسیم کنیم تا بتوانیم حضور قطعی جریان های خروجی را در انواع قرص ها به اثبـات رسانده، رفتار کمیت های مختلـف را در آن ها بیابیم و تاثیر عوامل مختلف را روی این ناحیه ها بسنجیم و ببینیم که عوامل جانبی در انواع قرص ها چگونه بر ساختار آن ها تاثیر می گذارند. معادلات هیدرودینامیک یک جریان برافزایشی را که شامل معادلات پیوستگی جرم، پایستگی اندازه حرکت و انرژی می شود را در دستگاه مختصات قطبی کروی در نظر می گیریم. قبل از حل این معـادلات ابتدا فرضیـاتی را که طبق فیزیک مسئـله وارد کرده ایم بیان می کنیم.
جریان را یکنواخت و ایستا در نظر می گیریم، بنابراین می توانیم تغییرات نسبت به زمان را برابر با صفر قرار دهیم.
(3-22)
همچنین جریان را متقارن محوری در نظر می گیریم، بنابراین در دستگاه مختصات قطبی کروی خواهیم داشت:
(3-23)
گرانش حاکم بر سیستم را گرانش نیوتنی در نظر می گیریم.
(3-24)
در رابطه با تانسور وشکسانی فرض می کنیم که تنها مولفه آن غالب باشد و از آنجاییکه در مدل کار می کنیم برای مقدار این مولفه خواهیم داشت:
(3-25)
براساس کار نارایان و یی در سال 1995 از فاکتور پهن رفت استفاده می کنیم [92]، به طوریکه بوده و این پارامتر بدین معنی می باشد که کسر انرژی پراکنده شده، پهن رفت و به صورت آنتروپـی ذخیره می شود، در حالیـکه کسر به صورت تابش از سیستـم خـارج می شود و ما در محاسبات اینطور فرض می کنیم که در جریان برافزایش ثابت است [125].
حال با استفاده از روابط و و قرار دادن آن ها در معادله پیوستگی جرم (3-19) خواهیم داشت:
(3-26)
همچنین با استفاده از فرضیات فوق و قرار دادن آن ها در معادله پایستگی تکانه (3-20) و جداسازی سه مولفه شعاعی، زاویه ای و سمتی روابط زیر را خواهیم داشت:
(3-27)
(3-28)
(3-29)
همانطور که ذکر شد در معادله انرژی، انرژی درونی بوده و به صورت زیر با فشار در ارتباط است:
(3-30)
که در آن فشار گاز، فشار تابشی و نسبت ظرفیت گرمای ویژه می باشد.
برای بدست آوردن معادله انرژی باید علاوه بر فرضیات فوق به نکات دیگری هم توجه کرد. معادله انرژی تا اندازه ای پیچیده است. از آنجا که انرژی درونی به صورت متفاوتی به فشار گاز و فشار تابشی بستگی دارد، بنابراین برای مطرح کردن معادله انرژی باید دقت بیشتری داشته باشیم. در نگاه اول می توان تشخیص داد که فقط فشار کل در معادلات ظاهر می شود و همچنین از فرایندهای دینامیکی نمی توان تشخیص داد که آیا فشار از گاز است یا از تابش. و به طرق مختلفی روی معادله انرژی تاثیر می گذارند که می توان برای تشریح این تاثیر از تعریف نسبت فشار استفاده کرد.
(3-31)
طبق رابطه (3-12) یک حالت ویژه وجود دارد وآن وقتی است که باشد، زیرا دیگر اهمیت ندارد که مقـدار چقـدر می شود و حل به همـان صورت باقـی مانده و رابـطه (3-12) تبدیل به می شود، همچنین اگر جریان برافزایشی با فشار تابشی غالب باشد، یعنی باشد، باز هم شده و این بار ساختار جریان به وابسته نخواهد بود و اگر جریان برافزایشی با فشار گاز غالب باشد آنگاه داریم ، که در آن نتیجه وابسته به خواهد بود. بنابراین برای حالت کلی می توانیم بنویسیم: