سیستم معادلات همزمان و معادلات همزمان

دانلود پایان نامه

فرم ساختاری:
Ӷ0 : بردار ستونی m*1 است که شامل m ضریب میباشد.
jӶ : ماتریس m*m است که با توجه به j=1,…,p شامل m2p ضریب میباشد.
θ : ماتریس m*m که قطر اصلی آن 1 میباشد و لذا شامل m2-m یا m(m-1) ضریب است.
Σ : ماتریس قطری m*m است که عناصر قطری آن واریانسهای u میباشد و لذا شامل m ضریب است.
بدین ترتیب تعداد ضریبهای فرم حل شده برابر با و تعداد ضرایب فرم ساختاری برابر با m2p+m2+m است. بنابراین ، تفاوت تعداد ضرایب فرم ساختاری و فرم حل شده برابر با است. به عنوان مثال در مدل VAR با دو متغیر (m=2) و یک وقفه (p=1) تفاوت تعداد ضرایب فرم ساختاری و فرم حل شده برابر با 1 است. در این مدل اگر در حالت کلی تعداد وقفهها برابر با p باشد ، تعداد ضرایب فرم ساختاری یکی بیشتر از تعداد ضرایب فرم حل شده خواهد بود. لذا اگر تعداد وقفهها برای همه معادلات یکسان باشد ، هیچ نقشی در شناسایی معادلات نخواهد داشت.
نکته در خور توجه آن است که تعداد ضرایب ماتریس Ω به اندازهبیش از ضرایب ماتریس Σ است که بیانگر اطلاعات اضافی ما است. از طرف دیگر ماتریس θ شامل m(m-1) ضریب است که در مقابل آن ، هیچ اطلاعاتی در فرم ساختاری نداریم.تفاوت این دو برابر با است. لذا شناسایی مدل VAR (در صورتی که تعداد وقفههای معادلات با هم یکسان باشد) صرفا وابسته به ضرایب θ و Σ و Ω است. بدیهی است که نمیتوانیم هیچ قیدی روی عناصر ماتریس Σ اعمال کنیم.از طرف دیگر اگر قیدی را روی Ω اعمال کنیم ، اطلاعات ما کمتر میشود .بنابراین اگر بپذیریم که تعداد وقفهها بایستی یکسان باشد، فقط با اعمال قید روی ضرایب θ میتوان مدل VAR را به یک مدل قابل تشخیص ، تبدیل نمود. همانطور که اشاره شد ، θ دارای m(m-1) ضریب است. برای شناسایی معادلات لازم است که نصف ضرایب آن (یعنی ) را مقید کنیم. به عنوان مثال در یک مدل دو متغیره ، θ درای 2 ضریب است که یکی از آنها را باید مقید نمود . در یک مدل 3 متغیره ، θ داری 6 ضریب است که 3 ضریب را باید مقید نمود. در اینجا میتوان ضرایب θ را بگونهای مقید نمود که آن را تبدیل به یک سیستم معادلات مثلثی نماید. به عنوان مثال میتوان θ را به صورت زیر تعریف نمود:
(13-3)
این مدل را میتوان مشابه یک سیستم معادلات همزمان با روش OLS برآورد نمود. روش دیگر برای اعمال قیود و شناسایی معادلات این است که به جای θ ، قیود را بر ضرایب Ӷ یعنی بر تعداد وقفهها اعمال کنیم. به عنوان مثال برای شناسایی مدل VAR(1) میتوان 12=0ϒ را اعمال نمود. در این صورت Y2t-1 از معادله اول حذف میشود و تعداد ضرایب فرم ساختاری برابر 9 میشود که دقیقا برابر با تعداد ضرایب فرم حل شده است.
8-3-تخمین حداکثر درستنمایی
فرم حل شده مدل VAR(p) را در نظر بگیرید:
(14-3)
,
لگاریتم تابع درستنمایی عبارت است از:
(15-3)
با مشتق گیری نسبت به B خواهیم داشت:
(16-3)
با حل معادله فوق ، معادله زیر بدست میآید :
(17-3)
بنابراین معادله فوق مشابه تخمین زننده OLS است.
نخمین زن Ω نیز با مشتقگیری نسبت به Ω بهدست میآید.