معادله و مجموعه

دانلود پایان نامه
بررسی معادلات حاکم بر قرص برافزایشی در حضور میدانهای مغناطیسی و الکتریکی داخلی

4-1 نظریه تک سیالی
از آنجا که قرص برافزایشی نوعی پلاسما است میتوانیم نظریه تک سیالی پلاسما را برای آن در نظر بگیریم.
پلاسما متشکل از الکترونهای به جرم me و بار qe=-e و یونهایی به جرم mi و بار qi=ze است. برای سادگی فرض میکنیم که در پلاسمای مورد بحث تنها یک عنصر یونی موجود است که عبارت از پروتونها است، در این صورت بار اتمی z=1 خواهد بود. در این حالت معادله پیوستگی و معادله حرکت را برای مؤلفه S سیال به صورت زیر مینویسیم.
(4-1)
(4-2)
که باید با معادلات حالت برای ذرات الکترونی و یونی ، و با مجموعه معادلات ماکسول، تکمیل شوند که در آنها ، چگالی بارها و جریانها را چنین تعریف میکنیم.
(4-3)
(4-4)
شبه خنثایی در چنین موردی، با حذف بار الکتریکی فضا، ، تعریف میشود، و از آن به نتیجه n=ni=ne میرسیم، حاکی از اینکه چگالیهای بار مساوی هستند. برای یک پلاسمای بدون جریان، J=0 ، چگالیهای شار ذره باید برابر باشند، یعنی ، این مورد کلی نیست زیرا که اکثر پلاسماها شبه خنثی بوده ولی در عین حال حامل جریاناند.
گاهی بهتر است از اختلاف بین انواع ذره در یک پلاسما چشمپوشی شود و پلاسما به صورت یک سیال رسانای حامل میدانهای الکتریکی و مغناطیسی و جریانها در نظر گرفته شود. در چنین موردی، متغییرهای میدانهای سیال، عبارت از ترکیباتی از چگالیها و سرعتهای عناصر تکی هستند. معادلات حاصل را “معادلات مغناطوهیدرودینامیک” یک پلاسما مینامند، که میتوان آنها را از معادلات دو سیالی با انتخاب ترکیبات زیر به صورت متغیرها، بهدست آورد.
(4-5)
(4-6)
(4-7)
n چگالی عددی، m جرم، و سرعت سیال است.
اکنون بدست آوردن معادله پیوستگی برای سیال کامل، آسان است. با ضرب معادله پیوستگی دو سیالی (4-1) برای یونها در mi و برای الکترونها در me و جمع دو معادله حاصل و با استفاده از تعاریف (4-5)تا (4-7)، رابطه زیر بدست میآید.
(4-8)
این معادله شکل رایج «معادله پیوستگی سیال » را نشان میدهد، و دیگر فرقی بین انواع مختلف ذرات در بین نیست. محتوای فیزیکی معادله پیوستگی این است که در یک پلاسمای کلاسیکی و غیر نسبیتی جرم پایستار است.
ساخت معادله حرکت سیال کاری به مراتب مشکلتر است، زیرا در طی آن جملات غیر خطی موجود در معادله (4-2) ظاهر میشوند.از اینرو میخواهیم چگونگی بدست آوردن این معادله را به صراحت نشان دهیم. برای کلیتر کردن بیشتر مسئله، بهتر آن است که جمله برخوردی سادهای را در معادله (4-2) وارد کنیم تا بتواند انتقال اندازه حرکت بین الکترونها و یونها را از طریق نوعی اصطکاک، چه به صورت اصطکاک برخوردی به مفهوم کلاسیکی آن و چه ناشی از برخوردهای غیرعادی بین دو نوع ذره ، منظور کند. وجود چنین برخوردهایی سبب پیدایش یک میدان الکتریکی صفر ناشو و جریانهای مقاومتی میشود. در نتیجه یک نوع قانون اهم در پلاسما حاکم است. بنابراین، بدست آوردن معادله پایستاری اندازه حرکت برای سیال، لزوماً به یک قانون تعمیم یافته اهم، به عنوان دومین معادله ابزاری برای پلاسما منجر میشود، که جریانهای محیط را به میدان الکترومغناطیسی پیوند میدهد. جمله برخوردی توسط تعریف میشود. چون این جمله انتقال اندازه حرکت از یونها به الکترونها را در معادله یونی و از الکترونها به یونها را در معادله الکترونی توصیف میکند، لذا پایستاری اندازه حرکت منتقله ایجاب میکند که دو جمله مذکور مقادیر مساوی ولی علامات مختلف داشته باشند. بنابراین دو معادله اندازه حرکت عبارت میشوند از :
(4-9)

این مطلب مشابه را هم بخوانید :   صرفه جویی در هزینه ها و شرکت های پذیرفته شده

معادله حرکت تک سیالی با جمع این دو معادله و با استفاده از تعریفهای بالا برای mوnوووبدست میآید.اگر معادله اول را در me و معادله دوم را در mi ضزب کرده، و با هم جمع کنیم، دو جمله برخوردی حذف میشوند، و سمت راست معادله به صورت زیر در میآید.
(4-10)