پایان نامه ارشد رایگان با موضوع دینامیکی

دانلود پایان نامه

به معادلهی کارناهان- استرلینگ دارند.
در سال 1992 میلادی، سولانا[50] معادلهی کارناهان- استرلینگ را بهبود داد و آن را برای به دست آوردن معادله حالت مایعات کرهی سخت در d بعد، تعمیم داد و دو عبارت جدید پیشنهاد کرد.
(2-37)
(2-38)
معادلهی(2-37) ضرایب ویریال را تامرتبهی چهارم و معادلهی(2-38) ضرایب را تا مرتبهی هفتم باز تولید میکند.
در سال 1994 میلادی، سنچز[16]، دو تقریب پد را به کار برد و دو معادلهی زیر را پیشنهاد داد.
(2-39)
(2-40)
در سال 1999 میلادی، ملیجواسکای و وورکا45[51]، معادلهی زیر را با استفاده از تقریب پد با هفت ضریب ویریال پیشنهاد دادند.
(2-41)
وانگ[52]، عبارت واندروالس- تونکس46 را پیشرفت داد و رابطهی مناسبتری به دست آورد.
(2-42)

فصل سوم
ضرایب ویریال مایعات با مولکولهای کروی

3-1 مقدمه
استفاده از بسط ویریال، روش مفیدی برای محاسبهی خواص حالات کپهای مواد میباشد. خواص ترمودینامیکی مواد را میتوان بر حسب سری توانی چگالی بسط داد که ضرایب بسط، ضرایب ویریال نامیده شدهاند. این ضرایب به دما و پتانسیل بین مولکولی بستگی دارند و محاسبهی تحلیلی تعدادی از آنها برای برهمکنشهای ساده و مولکولهای متقارن انجام شده است.
در این فصل، ابتدا به معرفی چگالی ذرهای و هنگردهای آماری میپردازیم، سپس ریاضیات تابعی و مختصری از نظریهی تابعی چگالی را بیان میکنیم و سپس ضرایب ویریال سیستم کروی را با استفاده از مفاهیم مکانیک آماری و جبر خطی به دست میآوریم. در آخر ارتباط این ضرایب را با تابع مایر بیان نموده و ضریب دوم ویریال کرهی سخت را محاسبه میکنیم.

3-2 مکانیک آماری سیستمهای کلاسیکی
در مبحث مکانیک آماری، از معادلات کلاسیکی حرکت در حل مسائل سیستمهای بس ذرهای استفاده کرده و خواص ماکروسکوپی سیستم را به کمک متوسطگیری از توابع متغیرهای میکروسکوپی در فضای و به دست میآوریم. برای سیستمهای ذرهای تعداد متغیرها میباشد. متوسطگیری میتواند زمانی یا متوسطگیری روی هنگردهای مختلف باشد.
هر نقطه در فضا- فاز و ، موقعیت سیستم را در هر زمان نمایش میدهد. برای متوسطگیری نیاز به تابع چگالی احتمال میباشد. چگالی احتمال تابعی است که توزیع نقاط فاز را در هنگرد معینی در فضا- فاز و در زمان معین به دست میدهد. احتمال یافتن سیستم در زمان در جزء حجم فضا- فاز به صورت زیر میباشد.
(3-1) تحول زمانی این احتمال از معادلهی لیویل تبعیت میکند[5]:

(3-2)
که براکت پواسون و هامیلتونی سیستم میباشد. در حالت تعادل ترمودینامیکی، خواص ترمودینامیکی و کمیتهای متوسط مستقل از زمان میباشد.

3-2-1 چگالیذرهای
مشاهدهپذیرهای فیزیکی، توابع سادهی تعریف شده روی فضای فاز سیستم هستند و مشاهدهپذیرهای یک ذرهای و دو ذرهای برای توصیف سیستمها از اهمیت زیادی برخوردارند. مقدار متوسط مشاهدهپذیرعبارت است از
(3-3)
که چگالی احتمال تعادلی است.
برای مشاهدهپذیر یک ذرهای داریم.

(3-4)
تابع زیر چگالی تکذرهای است.
(3-5)
و مشاهدهپذیر عبارت است از:
(3-6)
چگالی دو ذرهای عبارت است از:
(3-7)
و مشاهدهپذیر به صورت زیر در میآید.
(3-8)
چگالی ذرهای نیز به صورت زیر نوشته میشود.
(3-9)

3-2-2 هنگرد کانونی
یک هنگرد کانونی، مجموعهایاز سیستمهای مشخص شده با مقدارهایN (تعداد ذرات)، V (حجم سیستم
)و T (دمای سیستم در مقیاس کلوین) یکسان است. در این هنگرد سیستمها در تعادل گرمایی با یکدیگر
قرار دارند.
چگالی احتمال تعادلی برای یک سیستم از ذرات کروی مشابه در این هنگرد، به صورت زیر میباشد.
(3-10)
که h، ثابت پلانک، و ثابت بهنجارش ، تابع پارش کانونی است و به صورت زیر تعریف میشود.
(3-11)
از ترمودینامیک میدانیم که انرژی آزاد هلمهولتز به صورت زیر میباشد.
(3-12)
که آنتروپی و انرژی داخلی سیستم میباشد. ارتباط بین مکانیک آماری و ترمودینامیک با رابطهی زیر برقرار میشود.
(3-13)
با فرض اینکه هیچ میدان خارجی وجود نداشته باشد و سیستم همگن باشد، تغییر در انرژی داخلی ناشی از تغییرات کوچک در ، و است.
(3-14)
که ، پتانسیل شیمیایی است. از آنجا که ، و همه کمیتهای فزونور هستند،
(3-15)
میباشد و با در نظر گرفتن روابط (3-12) و (3-14) داریم:
(3-16)
اگر تابع شناخته شدهای از کمیتهای، و باشد، توابع ترمودینامیکی ، و میتوانند با مشتقگیریهای جزئی از به دست آیند.
(3-17)
(3-18)
(3-19)

با در نظر گرفتن رابطهی (3-13) و (3-18) به دست میآوریم.
(3-20)
در روابط قبل هامیلتونی سیستم است که شامل دو جملهی انرژی پتانسیل و جنبشی سیستم است و برای سیستم همگن
(3-21)
میباشد که انرژی پتانسیل سیستم و انرژی جنبشی سیستم است و
(3-22)
اگر جداپذیر باشد رابطهی (3-11) قابل محاسبه است و انتگرالگیری روی مؤلفههای تکانه ضریب را میدهد. در این صورت رابطهی (3-11) به صورت زیر بازنویسی میشود.
(3-23)
که طول موج حرارتی است.
(3-24)
و انتگرال پیکربندی است و به صورت زیر میباشد.
(3-25)
اگر ، آنگاه داریم:
(3-26)
بنابراین تابع پارش یک گاز ایدهآل یکنواخت به صورت زیر میباشد.
(3-27)
اگر انرژی آزاد هلمهولتز را به صورت زیر بنویسیم.
(3-28)
که سهم ایدهآل سیستم است که در آن برهمکنشهای بین ذرات را در نظر نگرفتهایم و انرژی سهم برهمکنشهای بین ذرات است و سهم اضافی سیستم نامیده میشود.
با این وجود
(3-29)
با در نظر گرفتن رابطهی (3-29) و رابطهی (3-19) داریم:
(3-30)
و به صورت زیر میباشد.
(3-31)
با توجه به روابط (3-23) و (3-27) داریم:
(3-32)
چگالی ذرهای این هنگرد به صورت زیر در میآید.
(3-33)

این مطلب مشابه را هم بخوانید :   منابع تحقیق درموردبدنی، نمره‌ی، چربی، گاوها

3-2-3 هنگرد کانونی بزرگ
در هنگرد کانونی بزرگ، سیستمها بسته نیستند به این معنی که تعداد ذرات و انرژی آنها ثابت نمیماند و سیستمها میتوانند با یکدیگر انرژی و ذره تبادل کنند. حالت ترمودینامیکی سیستم با ، و تعیین میشود.
، پتانسیل بزرگ، در این هنگرد به صورت زیر تعریف میشود.
(3-34)
با جایگزین کردن روابط (3-12) و(3-15) در رابطهی (3-34) داریم:
(3-35)
و شکل دیفرانسیلی پتانسیل بزرگ به صورت زیر میباشد.
(3-36)
با توجه به رابطهی (3-36)، توابع ترمودینامیکی ، و به صورت زیر به دست میآیند.
(3-37)
(3-38)
(3-39)
چگالی احتمال تعادلی در این هنگرد به صورت زیر میباشد.
(3-40)
که تابع پارش کانونی بزرگ است و به صورت زیر تعریف میشود.
(3-41)
که در آن، اکتیویته است و به صورت زیر تعریف میشود.
(3-42)
با توجه به روابط (3-30) و (3-42) به این نتیجه میرسیم که برای گاز ایدهآل یکنواخت
(3-43)
میباشد و بنابراین
(3-44)
ارتباط با مکانیک آماری با رابطهی زیر برقرار میشود.
(3-45)
در حالت گاز ایدهآل یکنواخت با در نظر گرفتن روابط (3-38) و (3-44) و (3-45) به رابطهی زیر میرسیم.
(3-46)
انرژی آزاد هلمهولتز یک کمیت فزونور است و میتواند به صورت زیر بیان شود.
(3-47)
که ، انرژی آزاد یک ذره است. با در نظر گرفتن روابط (3-19)، (3-47) و (3-18) روابط زیر به دست میآیند.
(3-48)
(3-49)
(3-50)
(3-51)
با توجه به روابط (3-49) و (3-51) داریم:
(3-52)
، میتواند ناشی از تغییر انرژی آزاد سیستم به دلیل اضافه شدن یک ذره به سیستم ذرهای باشد، بنابراین
(3-53)
که و انتگرالهای پیکربندی برای سیستمهای ذرهای و ذرهای میباشند.
چگالی ذرهای برای هنگرد کانونی بزرگ به صورت زیر در میآید.
(3-54)
(3-55)
(3-56)
برای سیستم همگن نیز به دست میآوریم:
(3-57)
که ، چگالی کپهای سیستم مایع میباشد.

3-3 ریاضیات تابعی
همانطور که یک تابع، نگاشتی از نقاط در یک فضای n بعدی، به یک نقطهی حقیقی یا مختلط است ()، تابعی هم بسطی از این تابع با توجه به مفاهیم بدیهی ریاضی میباشد. مثلاً برای یک تابعی
وابسته به یک تابع چگالی ، که در آن است، نیز نگاشتی از فضای بینهایت بعدی به یک عدد حقیقی یا مختلط است و فضای بینهایت بعدی شامل مقادیر در حوزهی تغییرات میباشد.
همانطور که برای تغییرات اندک تابع داریم:
(3-58)
که
(3-59)
حال برای تغییرات اندک تابعی نیز میتوان نوشت:
(3-60)
که در آن
(3-61)
بنابراین مشتق تابعی با استفاده از

دیدگاهتان را بنویسید